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          小學生奧數題:約數與倍數問題分析解答

          作者: 瀏覽次數:673 發布日期:2016-01-12

            約數與倍數問題分析解答,供大家學習參考。

            已知x、y為正整數,且滿足xy-( x+y )=2p+q,其中p、q分別是x與y的最大公約數和最小公倍數,求所有這樣的數對(x,y ) (x≥y )

            考點:約數與倍數.

            分析:此題需分類討論,①當x是y的倍數時,設x=ky(k是正整數).解方程k(y-2)=3;②當x不是y的倍數時,令x=ap,y=bp,a,b互質,則q=abp.解方程abp-1=(a-1)(b-1)即可.解答:解:①當x是y的倍數時,設x=ky(k是正整數).

            則由原方程,得

            ky?y-(ky+y)=2y+ky,

            ∵y≠0,

            ∴ky-(k+1)=2+k,

            ∴k(y-2)=3,

            當k=1時,x=5,y=5;

            當k=3時,x=9,y=3;

            ②當x不是y的倍數時,令x=ap,y=bp,a,b互質,則q=abp,代入原式

            得:abp2-(ap+bp)=2p+abp,即abp-1=(a-1)(b+1)

            當p=1時,a+b=2,可求得a=1,b=1,此時不滿足條件;

            當p>1時,abp≥2ab-1=ab+(ab-1)≥ab>(a-1)(b-1)

            此時,abp-1=(a-1)(b+1)不滿足條件;

            綜上所述,滿足條件的數對有

            點評:本題主要考查的是最大公約數與最小公倍數.由于兩個數的乘積等于這兩個數的最大公約數與最小公倍數的積.即(a,b)×[a,b]=a×b.所以,求兩個數的最小公倍數,就可以先求出它們的最大公約數,然后用上述公式求出它們的最小公倍數.

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